Основы математического моделирования

Оглавление

Предисловие

Основы аналитического моделирования

1 Основные понятия моделирования
1.1. Классификация моделей
1.2. Виды моделирования
1.3. Понятие о математической модели
1.4. Этапы математического моделирования
1.5. Анализ методов решения математических моделей

2 Методы построения математической модели
2.1. Построение математических моделей на основе законов сохранения
2.1.1. Радиоактивный распад (закон сохранения массы)
2.1.2. Явление поглощения (закон сохранения энергии)
2.1.3. Спонтанное излучение (закон сохранения числа частиц)
2.1.4. Реактивное движение (закон сохранения импульса)
2.2. Применение фундаментальных уравнений физики (метод от «общего к частному»)
2.3. Иерархический подход к построению моделей (метод от «простого к сложному»)
2.3.1. Усиление оптического излучения
2.3.2. Вертикальный взлет и полет баллистической ракеты
2.3.3. Многоступенчатая ракета
2.4. Метод вариационных принципов
2.4.1. Вариационные принципы
2.4.2. Использование принципа наименьшего действия в форме Лагранжа и Гамильтона
2.5. Построение моделей на основе метода аналогий
2.6. Этапы создания аналитической модели реальных объектов

3 Основы теории подобия
3.1. Теоремы теории подобия
3.2. Метод подобного масштабирования уравнений
3.3. Метод использования характерных масштабов

4 Основы численного моделирования
4.1. Понятие о дискретном аналоге математической модели
4.2. Методы численного решения математических моделей
4.2.1. Метод Эйлера
4.2.2. Метод Эйлера--Коши, или исправленный метод Эйлера
4.2.3. Модифицированный метод Эйлера, или метод Рунге--Кутта второго порядка
4.2.4. Методы Рунге--Кутта третьего и четвертого порядков
4.2.5. Методы прогноза-коррекции
4.2.6. Экспериментальная оценка выбора шага интегрирования

5 Основы систем компьютерной математики
5.1. Моделирование физических явлений в системе Excel
5.1.1. Моделирование движения небесного тела под действием сил тяготения
5.1.2. Движение тела в поле силы тяжести Земли
5.1.3. Движение заряженной частицы в кулоновском поле
5.2. Моделирование физических объектов в системе Maple
5.2.1. Общие сведения о системе Maple
5.2.2. Примеры моделирования в системе Maple
5.3. Моделирование физических систем в среде MathCAD
5.3.1. Общие сведения о математическом пакете MathCAD
5.3.2. Способы моделирования в MathCAD

6 Задачи для компьютерного моделирования
6.2. Движение тела с учетом сопротивления среды
6.3. Движение небесного тела в гравитационном поле
6.4. Полет сверхзвукового самолета
6.5. Полет одноступенчатой ракеты
6.6. Стыковка космического корабля
6.7. Параметрический маятник
6.8. Маятник Фуко
6.9. Колебания пружинного маятника под действием различных сил
6.10. Двойной маятник
6.11. Связанные маятники
6.12. Связанные осцилляторы
6.13. Задача Ферми-Паста-Улама
6.14. Успокоители механических колебаний
6.15. Распространение волн на воде. Солитоны
6.16. Распространение звука в газах
6.17. Метод молекулярной динамики
6.18. Форма капли жидкости
6.19. Замерзание капли
6.20. Решение уравнения теплопроводности
6.21. Решение уравнения Пуассона
6.22. Силовые линии электрического поля
6.23. Движение заряженных частиц в магнитном поле
6.24. Возмущение орбиты электрона в однородном магнитном поле движущимся протоном
6.25. Движение заряженной частицы в скрещенных полях
6.26. Пространственный осциллятор
6.27. Движение заряженных частиц в кулоновском поле
6.28. Генерирование колебаний
6.29. Выпрямление с фильтрацией
6.30. Явление гистерезиса
6.31. Явление радуги
6.32. Явление миража
6.33. Градиентные световоды
6.34. Квантово-механическая модель атома. Часть I
6.35. Квантово-механическая модель атома. Часть II
6.36. Расчет молекулы бензола методом Хюккеля
6.37. Генерация лазерного излучения
6.38. Сверхизлучение
6.39. Когерентное усиление ультракоротких импульсов света
6.40. Явление фотонного и стимулированного светового эха

II Основы статистического моделирования реальных явлений (методы Монте-Карло)}

7 Методы Монте-Карло и понятия теории вероятностей
7.1. Понятие о численном вероятностно-статистическом моделировании
7.2. Некоторые понятия и теоремы теории вероятностей
7.2.1. Понятия теории вероятностей
7.2.2. Основные теоремы теории вероятностей
7.2.3. Оценка погрешности математического ожидания исследуемой величины
7.3. Генераторы, алгоритмы получения и преобразования случайных чисел
7.3.1. Получение случайных чисел с помощью случайного эксперимента
7.3.2. Алгоритмы получения псевдослучайных чисел
7.3.3. Понятие эталонной случайной величины 
7.3.4. Преобразование случайных величин
7.3.5. Генераторы псевдослучайных чисел на ЭВМ
7.3.7. Тестирование генераторов случайных чисел
7.4. Недостатки и достоинства методов Монте-Карло

8 Вероятностное моделирование математических задач
8.1. Решение системы линейных уравнений методом Монте-Карло
8.2. Вычисление интегралов способом среднего
8.3. Вычисление определенных интегралов способом <<зонтика>> Неймана
8.4. Вычисление значения числа 
8.5. Решение уравнений эллиптического типа
8.6. Решение уравнений параболического типа на примере уравнения теплопроводности

9 Моделирование физических процессов и явлений методом Монте-Карло
9.1. Метод Монте-Карло при моделировании задач нейтронной физики
9.1.1. Задача моделирования прохождения нейтронов через пластину
9.1.2. Моделирование сорта ядра и вида взаимодействия нейтрона с ядром
9.1.3. Решение задачи розыгрыша типа взаимодействия и сорта ядра
9.1.4. Определение направления движения и энергии частиц после рассеяния
9.1.5. Моделирование длины свободного пробега нейтрона
9.1.6. Моделирование траектории движения нейтронов через пластину (двухмерный случай)
9.2. Моделирование прохождения -излучения через вещество
9.3. Метод броуновской динамики
9.4. Моделирование броуновских траекторий
9.5. Моделирование явления спонтанного излучения атомов
9.6. Моделирование явления спонтанного излучения многоатомной системы
(сверхизлучение Дике)

Приложения
Приложение 1. Ответы и решения задач
Приложение 2. Применение граданов
Приложение 3. Таблица равномерно распределённых случайных чисел
Приложение 4. Микросечения некоторых веществ
Приложение 5. Список программ для компьютерного моделирования реальных объектов