Основы теории сигналов

Оглавление

Предисловие

Раздел I. Введение в теорию сигналов

1. Основные понятия и представления теории сигналов
1.1. Понятие сигнала
1.2. Классификация сигналов
1.3. Множества и пространства сигналов. Координатный базис пространства
1.4. Метрика, норма и скалярное произведение сигналов
1.5. Энергия и мощность сигналов
1.6. Функциональные пространства сигналов L₂ и L₁
1.7. Некоторые «особенные» функции, используемые в теории сигналов
1.8. Понятие обобщённой функции
1.9. Комплексные сигналы
1.10. Чётная и нечётная части сигнала. Постоянная и переменная составляющие
1.11. Решётчатые функции и разностные уравнения

2. О системах преобразования сигналов
2.1. Классификация систем
2.2. Основные системные операции
2.3. Инвариантность систем к сдвигу. Линейные системы, инвариантные к сдвигу
2.4. Математическая модель системы
2.5. Импульсная характеристика линейной системы
2.6. Переходная характеристика системы. Условие физической реализуемости
2.7. Свёртка функций

Раздел II. Спектральный и корреляционный анализ сигналов
3. Обобщённый спектральный анализ сигналов
3.1. Ортогональные сигналы и обобщённый ряд Фурье
3.2. О выборе базисных систем ортогональных функций
3.3. О спектральном анализе сигналов на основе базисной системы тригонометрических и комплексных экспоненциальных функций
3.4. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Лежандра
3.5. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Чебышева
3.6. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Лагерра
3.7. Спектральный анализ на основе многочленов Эрмита
3.8. О базисных системах для разрывных сигналов

4. Интегральные представления сигналов
4.1. Интегрирование по Риману и Стилтьесу
4.2. Интегральные представления и преобразования сигналов. Базисные и сопряжённые базисные ядра
4.3. Теорема Планшереля. Равенство и теорема Парсеваля

5. Гармонический анализ сигналов. Преобразования Фурье
5.1. Представление временных функций в виде ряда и интеграла Фурье
5.2. Прямое и обратное преобразования Фурье. Спектральная функция
5.3. Некоторые замечания относительно преобразования Фурье
5.4. Основные свойства преобразования Фурье
5.5. Об особенностях разложения периодических функций в ряды Фурье
5.6. Эффект Гиббса
5.7. Формула суммирования Пуассона
5.8. Преобразование Фурье от произведения сигналов
5.9. Преобразование Фурье свёртки функций
5.10. Примеры преобразования Фурье одномерных функций
5.11. Синусное и косинусное преобразования Фурье

6. Гармонический анализ сигналов. Спектры сигналов
6.1. Ширина спектра и база сигнала
6.2. Спектры наиболее употребительных сигналов
6.3. Частотные спектры сигналов, представляемых обобщённым рядом Фурье
6.4. Теоремы о спектрах
6.5. Текущий и мгновенный спектры
6.6. Умножение сигнала на гармоническую функцию
6.7. Искажение спектра при конечном преобразовании Фурье
6.8. О спектрах в обобщённой спектральной теории сигналов
6.9. О спектрах узкополосных сигналов

7. Корреляционный анализ сигналов
7.1. Автокорреляционная функция и её свойства
7.2. Автокорреляционная функция и энергетический спектр сигнала
7.3. Интервал корреляции и эффективная ширина спектра сигнала
7.4. Взаимная корреляционная функция и её свойства
7.5. Связь между ВКФ и спектрами сигналов
7.6. Корреляция и свёртка
7.7. Случайные величины и их характеристики
7.8. Некоторые одномерные законы распределения. Нормальный закон
7.9. Случайные процессы и функции
7.10. Характеристики распределения мгновенных значений случайной функции. Моментные функции
7.11. Многомерный закон распределения
7.12. Двумерный закон распределения. Корреляционные функции случайных процессов
7.13. Двумерное нормальное распределение
7.14. Множественная корреляция. Ковариационная и корреляционная матрицы
7.15. О дисперсии суммы случайных величин
7.16. Спектральный анализ случайных сигналов
7.17. Теорема Винера-Хинчина
7.18. Об одностороннем спектре мощности

Раздел III. Дискретные сигналы

8. Дискретизация непрерывных сигналов
8.1. Сущность дискретизации аналогового сигнала
8.2. Математическое моделирование и практическая реализация дискретного сигнала
8.3. Явление наложения частот. Критерий Найквиста
8.4. Эффект тренда. Исключение тренда при дискретизации
8.5. О доопределении функций, описывающих финитные сигналы

9. Дискретное преобразование Фурье
9.1. Определение дискретного преобразования Фурье
9.2. Дискретные экспоненциальные функции
9.3. Матричная форма представления ДПФ
9.4. Свойства дискретного преобразования Фурье
9.5. Квантование сигналов по уровню

10. Алгоритм быстрого преобразования Фурье
10.1. Идея алгоритма БПФ
10.2. Быстрое преобразование Фурье с децимацией по времени
10.3. Быстрое преобразование Фурье с децимацией по частоте
10.4. Представление БПФ в виде графа
10.5. Факторизационный подход к построению алгоритмов БПФ
10.6. Об ускорении вычислений при использовании алгоритмов БПФ
10.7. Вычисление обратного ДПФ с помощью алгоритма прямого ДПФ
10.8. Об одновременном вычислении преобразования Фурье двух действительных реализаций

11. Восстановление непрерывных сигналов по дискретным значениям
11.1. Интерполяционные полиномы
11.2. Степенные полиномы, полиномы Лежандра
11.3. Теорема Котельникова. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
11.4. Восстановление непрерывных сигналов с помощью сплайнов

Раздел IV. Сигнальные процессы

12. Модулирование и детектирование сигналов
12.1. Виды модуляции
12.2. Амплитудная модуляция
12.3. Амплитудная модуляция периодической последовательности импульсов
12.4. Балансная и однополосная АМ модуляция
12.5. О демодуляции АМ сигналов
12.6. Угловая модуляция сигналов
12.7. Частотная модуляция
12.8. Фазовая модуляция
12.9. Многотональная угловая модуляция
12.10. О демодуляции УМ сигналов
12.11. Квадратурная модуляция

13. Спектры некоторых распространённых ФМ и ЧМ сигналов
13.1. Исходные формулы для расчёта спектра ФМ сигналов
13.2. «Прямоугольное» изменение фазы (фазоманипулированные сигналы)
13.3. Случай модуляции фазы по закону 0/π
13.4. Случай модуляции фазы по закону 0/π/2
13.5. Линейное изменение фазы по закону «неидеальной пилы» с линейным задним фронтом
13.6. Линейное изменение фазы для «неидеальной пилы» при обратном включении модулятора
13.7. Линейное изменение фазы по закону «идеальной пилы»
13.8. «Треугольное» изменение фазы
13.9. Расчёт спектров сигналов, модулированных по фазе по закону пилы
13.10. ЧМ сигнал с модуляцией меандром
13.11. ЧМ сигнал с пилообразным несимметричным законом модуляции
13.12. ЧМ сигнал с модуляцией по закону симметричной пилы
13.13. Импульсные сигналы с частотной модуляцией

14. Преобразование частоты сигналов
14.1. Общие сведения о преобразовании частоты
14.2. Анализ процесса преобразования
14.3. Параметры преобразования диодных преобразователей
14.4. Параметры смесителей сигналов
14.5. Схемы балансных смесителей

Раздел V. Весовые окна

15. Метод весовых функций
15.1. Спектральные утечки
15.2. Методы оценки спектральных плотностей
15.3. Спектральная плотность дискретных сигналов. Сглаживающая косинусоидальная функция
15.4. Некоторые семейства временных окон
15.5. Основные характеристики временных и спектральных окон
15.6. Стратегия выбора весовых функций (весовых окон)
15.7. Некоторые методы вычисления спектров сигналов, содержащих перепады уровней

Раздел VI. Преобразования сигналов

16. Преобразование Лапласа
16.1. Определение преобразования Лапласа
16.2. Преобразования Лапласа от некоторых функций
16.3. Основные теоремы преобразования Лапласа
16.4. Обратное преобразование Лапласа
16.5. Метод преобразования Лапласа
16.6. Передаточные функции и временные характеристики
16.7. Дискретное преобразование Лапласа
16.8. Резюме

17. Преобразование Хартли
17.1. Формулировка преобразований Хартли и их связь с преобразованиями Фурье
17.2. Преобразование Хартли прямоугольного и дельта-импульса
17.3. Энергетический и фазовый спектры
17.4. Основные свойства (теоремы) преобразований Хартли, их сопоставление со свойствами преобразований Фурье
17.5. Дискретное преобразование Хартли
17.6. Теоремы для операций при дискретном преобразовании
17.7. Быстрый алгоритм ДПХ
17.8. Ещё о связи ДПХ и ДПФ
17.9. Заключение

18. Дискретное преобразование Лорана
18.1. Прямое Z-преобразование
18.2. Основные теоремы и свойства прямого Z-преобразования
18.3. Обратное Z-преобразование
18.4. Связь Z-преобразования с преобразованием Фурье
18.5. Z-преобразование и комплексная Z-плоскость
18.6. Алгоритмы расчёта Z-преобразования конечной последовательности

19. Преобразования Гильберта и Крамерса–Кронига
19.1. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта
19.2. Прямое и обратное преобразование Гильберта
19.3. Ещё об аналитическом сигнале
19.4. Свойства преобразования Гильберта
19.5. Гильбертовы сигналы
19.6. Преобразования Гильберта по различным базисным системам
19.7. О спектрах функций, связанных преобразованием Гильберта
19.8. Некоторые применения преобразования Гильберта
19.9. Дискретное преобразование Гильберта
19.10. Преобразование Крамерса-Кронига

20. Кратковременные преобразования Фурье. Преобразование Габора
20.1. Частотно-временная локализация сигналов и ограничения, связанные с применением классического преобразования Фурье
20.2. Кратковременное преобразование Фурье
20.3. Инверсное КВПФ
20.4. КВПФ и КВПФ-спектрограммы
20.5. Преобразование Габора
20.6. Дискретное кратковременное преобразование Фурье
20.7. Дискретное представление и преобразование Габора. Дуальные функции

21. Вейвлет-преобразования
21.1. Понятие вейвлета, его основные признаки и свойства. Материнские вейвлеты
21.2. Примеры вейвлетообразующих функций
21.3. Частотно-временная локализация вейвлет-анализа
21.4. Прямое и обратное вейвлет-преобразования
21.5. Сравнение вейвлет-преобразования и оконного преобразования Фурье (аналогии и отличия)
21.6. Свойства вейвлет-преобразований
21.7. Дискретное вейвлет-преобразование
21.8. Вейвлетный кратномасштабный анализ. Быстрое вейвлет-преобразование
21.9. Частотный подход к вейвлет-преобразованию
21.10. Достоинства и недостатки вейвлетных преобразований

Приложения
1. Код Грея
2. Вывод формулы для комплексной свёртки изображений
3. Основные понятия и представления теории вычетов

Основные обозначения

Используемые сокращения

Литература